2023年 理工学部 シラバス - 数学科
設置情報
| 科目名 |
解析学及び演習A
測度論と積分論
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| 設置学科 | 数学科 | 学年 | 3年 |
| 担当者 | 水野 将司 | 履修期 | 前期 |
| 単位 | 3 | 曜日時限 | 金曜3･4 |
| 校舎 | 駿河台 | 時間割CD | N53Q |
| クラス | |||
| 履修系統図 | 履修系統図の確認 | ||
概要
| 学修到達目標 | 測度論と積分論の基礎事項を説明することができる．とくに積分と極限の交換に関する諸定理，積分の順序交換に関するFubiniの定理を使うことができる． 本授業科目はDP1・6及びCP1・6に該当しています． |
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| 授業形態及び 授業方法 |
対面授業を行う．板書による講義，ならびに演習を行う． |
| 履修条件 | 微分積分学A,B,C,D，数学入門A,B，解析学入門Aの知識を修得していることが望ましい． |
授業計画
| 第1回 | Riemann積分の問題点, 及びその演習 【事前学習】Riemann積分の定義と性質を確認する(2時間) 【事後学習】Riemann積分の問題点と一様収束について復習する(3時間) |
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| 第2回 | 可測空間，及びその演習 【事前学習】σ加法族と可測空間について配布の資料を読む(2時間) 【事後学習】σ加法族と可測空間の定義とその意味を復習する(3時間) |
| 第3回 | 測度と測度空間，及びその演習 【事前学習】測度と測度空間について配布の資料を読む(2時間) 【事後学習】測度と測度空間の定義とその意味を復習する(3時間) |
| 第4回 | 外測度と測度の構成，及びその演習 【事前学習】外測度と測度空間の構成について配布の資料を読む(2時間) 【事後学習】外測度の定義と外測度について可測であることの定義を復習する(3時間) |
| 第5回 | Lebesgue測度，及びその演習 【事前学習】Lebesgue測度について配布の資料を読む(2時間) 【事後学習】Lebesgue測度、Borel 集合、Borel 測度の定義を復習する(3時間) |
| 第6回 | 測度論に関するさらなる話題，及びその演習 【事前学習】測度論に関するさらなる話題について配布の資料を読む(2時間) 【事後学習】測度論と確率論、フラクタル図形との関係を復習する(3時間) |
| 第7回 | 可測関数，及びその演習 【事前学習】可測関数について配布の資料を読む(2時間) 【事後学習】可測関数の定義とその性質を復習する(3時間) |
| 第8回 | Lebesgue積分の定義，及びその演習 【事前学習】Lebesgue 積分の定義について配布の資料を読む(2時間) 【事後学習】Lebesgue 積分の定義と積分の順序保存性を復習する(3時間) |
| 第9回 | 単調収束定理，及びその演習 【事前学習】一様収束しない関数列の例について配布の資料を読む(2時間) 【事後学習】一様収束しない関数列の例と単調収束定理の主張を復習する(3時間) |
| 第10回 | 単調収束定理と積分の線形性，及びその演習 【事前学習】単調収束定理の主張を確認し、積分の線形性について配布の資料を読む(2時間) 【事後学習】積分の線形性に関する主張を復習する(3時間) |
| 第11回 | Fatouの補題とLebesgueの優収束定理，及びその演習 【事前学習】単調収束定理の主張を確認し、Fatouの補題とLebesgueの優収束定理について配布の資料を読む(2時間) 【事後学習】Lebesgueの優収束定理とその使い方を復習する(3時間) |
| 第12回 | 関数項級数の収束，及びその演習 【事前学習】単調収束定理とLebesgueの優収束定理の主張を確認し、関数項級数の収束について配布の資料を読む(2時間) 【事後学習】関数項級数の収束定理とその使い方を復習する(3時間) |
| 第13回 | 直積測度，及びその演習 【事前学習】直積測度について配布の資料を読む(2時間) 【事後学習】二次元Lebesgue測度が一次元Lebesgue測度の直積となることを復習する(3時間) |
| 第14回 | Fubiniの定理(1)，及びその演習 【事前学習】Fubiniの定理について配布の資料を読む(2時間) 【事後学習】Fubiniの定理を復習する(3時間) |
| 第15回 | Fubiniの定理(2)，及びその演習 【事前学習】Fubiniの定理とはなにかについて確認をする(2時間) 【事後学習】Fubiniの定理の使い方を復習する(3時間) |
その他
| 教科書 |
教科書は指定しない。
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| 参考書 |
長澤 壯之 『ルベーグ流 測度論と積分論 [ISBN 978-4320114425]』 共立出版 2021年
小川 卓克 『リーマン積分からルベーグ積分へ: 積分論と実解析 [ISBN 978-4781915531]』 SGCライブラリ サイエンス社 2022年
伊藤 清三 『ルベーグ積分入門 (新装版) [ISBN 978-4785313180]』 数学選書 裳華房 1963年
谷島 賢二 『新版 ルベーグ積分と関数解析 [ISBN 978-4254116069]』 講座〈数学の考え方〉13 朝倉書店 2015年
松澤 忠人, 原 優, 小川 吉彦 『積分論と超関数論入門 [ISBN 978-4873612010]』 学術図書 1996年
Elliott H. Lieb, Michael Loss, Analysis, second edition [ISBN 978-0821827833], Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2001
Lawrence Craig Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, Revised Edition [ISBN 978-1482242386], Chapman and Hall/CRC, 1991
この授業はLieb-Loss の "Analysis"による積分論の説明に沿って進めます．ただし，論理に問題のない範囲で証明の順番を変えるなどの変更を行っています．『ルベーグ流 測度論と積分論』，『リーマン積分からルベーグ積分へ: 積分論と実解析』は近年出版された積分論の和書で，Lieb-Loss の "Analysis"と同じ方針での積分の定義が書かれています．『新版 ルベーグ積分と関数解析』も参考になるでしょう．
『ルベーグ積分入門』は測度論と積分論を厳密に，そして丁寧に説明した名著です．『積分論と超関数論入門』は1次元のLebesgue測度に話を絞って解説がなされています．この2冊の積分の定義は講義で解説するものと異なっているように見えますが，実際には同値であることがわかっています．
Lieb-Loss の "Analysis" や Evans-Gariepy の "Measure Theory and Fine Properties of Functions" は測度論・積分論における著名な専門書です．
他の参考書については講義中に説明します．
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| 成績評価の方法 及び基準 |
授業内課題 60%、定期試験 40% |
| 質問への対応 | 随時 |
| 研究室又は 連絡先 |
駿河台校舎 タワースコラ 14階 S1408 http://www.math.cst.nihon-u.ac.jp/~mizuno/lecture.html mizuno.masashi atmark nihon-u.ac.jp (atmarkは@にかえてください) |
| オフィスアワー |
金曜 駿河台 16:40 ～ 18:10 タワースコラ 14階 S1408(水野研究室)
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| 学生への メッセージ |
Lebesgue積分は難しいとよく言われます．授業を聞いただけでは理解しにくいうえ，実際に使ってみないとその有用性がわかりにくいといえます．自分で積分論を組み立てなおしてみると，その知識の深さが理解できますので，よく復習をしてください． なお，解析学の研究室において，Lebesgue積分は必須の知識です．特に，定理の仮定や使い方に慣れることが大切です． |