2024年 大学院理工学研究科 シラバス - 数学専攻
設置情報
| 科目名 |
解析学特論ⅢA
線形偏微分方程式の解公式
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| 設置学科 | 数学専攻 | 学年 | 1年 |
| 担当者 | 水野 将司 | 履修期 | 後期 |
| 単位 | 2 | 曜日時限 | 月曜2 |
| 校舎 | 駿河台 | 時間割CD | N12B |
| クラス | |||
概要
| 学修到達目標 | Laplace方程式，熱方程式，波動方程式の解公式を用いた解析手法を理解する． |
|---|---|
| 授業形態及び 授業方法 |
対面授業で板書による講義を行う． |
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準備学習（予習・ 復習等）の内容・ 受講のための 予備知識 |
微分積分学・線形代数学・ベクトル解析を復習しておくことが望ましい． |
授業計画
| 第1回 | 偏微分方程式とは？ | 【事前学習】微分積分学・線形代数学の諸知識を確認する． 【事後学習】偏微分方程式の定義・用語を復習する． | 【事前学習】2時間 【事後学習】4時間 |
|---|---|---|---|
| 第2回 | 偏微分方程式の導出：Laplace方程式・Poisson方程式 | 【事前学習】微分積分学・線形代数学の諸知識を再確認する． 【事後学習】Laplace方程式・Poisson方程式の導出方法を復習する． | 【事前学習】2時間 【事後学習】4時間 |
| 第3回 | 偏微分方程式の導出：熱方程式・拡散方程式 | 【事前学習】Laplace方程式・Poisson方程式の導出方法を復習する． 【事後学習】熱方程式・拡散方程式の導出方法を復習する． | 【事前学習】2時間 【事後学習】4時間 |
| 第4回 | 偏微分方程式の導出：波動方程式 | 【事前学習】偏微分方程式の導出方法を復習する． 【事後学習】波動方程式の導出方法を復習する． | 【事前学習】2時間 【事後学習】4時間 |
| 第5回 | 偏微分方程式の導出：流体の方程式 | 【事前学習】偏微分方程式の導出方法を復習する． 【事後学習】Euler方程式・Navier-Stokes方程式の導出方法を復習する． | 【事前学習】2時間 【事後学習】4時間 |
| 第6回 | Laplace方程式の基本解 | 【事前学習】積分論の諸知識を確認する． 【事後学習】Laplace方程式の基本解とその性質を復習する． | 【事前学習】2時間 【事後学習】4時間 |
| 第7回 | Laplace方程式に対する平均値定理、最大値原理 | 【事前学習】ベクトル解析の諸知識を確認する． 【事後学習】Laplace方程式の平均値定理、最大値原理の導出手法を復習する． | 【事前学習】2時間 【事後学習】4時間 |
| 第8回 | Green関数 | 【事前学習】Laplace方程式の基本解とその性質を復習する． 【事後学習】球に対するGreen関数を復習する． | 【事前学習】2時間 【事後学習】4時間 |
| 第9回 | 熱方程式の基本解 | 【事前学習】熱方程式の性質を確認する． 【事後学習】熱方程式の基本解と初期値問題の解表示について復習する． | 【事前学習】2時間 【事後学習】4時間 |
| 第10回 | 非斉次熱方程式 | 【事前学習】熱方程式の基本解と初期値問題の解表示を復習する． 【事後学習】非斉次熱方程式の初期値問題の解表示について復習する． | 【事前学習】2時間 【事後学習】4時間 |
| 第11回 | 熱方程式に対する最大値原理 | 【事前学習】関数の最大・最小についての性質を確認する． 【事後学習】熱方程式に対する最大値原理の導出手法を復習する． | 【事前学習】2時間 【事後学習】4時間 |
| 第12回 | 波動方程式とd’Alembertの公式 | 【事前学習】熱方程式の初期値問題の解法を確認する． 【事後学習】一次元波動方程式の解公式とその性質を復習する． | 【事前学習】2時間 【事後学習】4時間 |
| 第13回 | Reflection法と球面調和関数 | 【事前学習】偶関数・奇関数の性質とd'Alembertの公式を確認する． 【事後学習】3次元波動方程式に対するEuler-Darboux-Poisson方程式を復習する． | 【事前学習】2時間 【事後学習】4時間 |
| 第14回 | 波動方程式に対するKirchhoff, Poissonの公式 | 【事前学習】一次元波動方程式の解公式とその性質を復習する． 【事後学習】二次元・三次元波動方程式の解公式とその性質を復習する． | 【事前学習】2時間 【事後学習】4時間 |
| 第15回 | レポートとその解説 | 【事前学習】これまでの偏微分方程式論に関する諸知識の復習をする． 【事後学習】レポートで間違えた問題の復習をする． | 【事前学習】2時間 【事後学習】4時間 |
その他
| 教科書 |
特に指定しない
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| 参考資料コメント 及び 資料（技術論文等） |
Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, second edition [ISBN 978-0821849743], Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2010
長澤 壯之 『ガイダンス 応用解析 ベクトル解析・複素関数・フーリエ解析・微分方程式 [ISBN 978-4781915357]]』 ライブラリ新数学基礎テキスト TK 4 サイエンス社 2022年
"Partial Differential Equations" は偏微分方程式論とは何かを学ぶうえで非常に著名な書籍です．「ガイダンス 応用解析」は偏微分方程式論を学ぶ上で必要となる解析学の諸知識がコンパクトにまとまっています．
他の参考書については講義中に説明します．
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| 成績評価の方法 及び基準 |
レポート 100% |
| 質問への対応 | 随時 |
| 研究室又は 連絡先 |
駿河台校舎 タワースコラ 14階 S1408 http://www.math.cst.nihon-u.ac.jp/~mizuno/lecture.html mizuno atmark math.cst.nihon-u.ac.jp (atmarkは@にかえてください) |
| オフィスアワー |
月曜 駿河台 12:10 ～ 13:00 タワースコラ 14階 S1408(水野研究室)
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| 学生への メッセージ |
微分積分学・線形代数学の諸知識がどう偏微分方程式論に利用されるかを感じ取っていただければと思います． |