2025年 大学院理工学研究科 シラバス - 数学専攻
設置情報
| 科目名 |
解析学特論ⅢB
線形偏微分方程式と関数解析
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|---|---|---|---|
| 設置学科 | 数学専攻 | 学年 | 1年 |
| 担当者 | 水野 将司 | 履修期 | 後期 |
| 単位 | 2 | 曜日時限 | 月曜2 |
| 校舎 | 駿河台 | 時間割CD | N12B |
| クラス | |||
概要
| 学修到達目標 | 線形偏微分方程式の関数解析的取り扱いを学ぶことで，微分積分学・線形代数学が関数方程式の可解性にどのようにかかわるかを理解する． |
|---|---|
| 授業形態及び 授業方法 |
板書による講義を行う． |
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準備学習（予習・ 復習等）の内容・ 受講のための 予備知識 |
微分積分学・線形代数学・ベクトル解析を復習しておくことが望ましい． |
授業計画
| 第1回 | 偏微分方程式とは？ | 【事前学習】微分積分学・線形代数学の諸知識を確認する 【事後学習】偏微分方程式の定義・用語を復習する | 【事前学習】1時間 【事後学習】3時間 |
|---|---|---|---|
| 第2回 | 拡散方程式の導出 | 【事前学習】微分積分学・線形代数学の諸知識を再確認する 【事後学習】拡散方程式の変分原理を用いた導出方法を復習する | 【事前学習】1時間 【事後学習】3時間 |
| 第3回 | 熱方程式の導出 | 【事前学習】拡散方程式の導出手法を再確認する 【事後学習】熱力学を用いた熱方程式の導出方法を復習する | 【事前学習】1時間 【事後学習】3時間 |
| 第4回 | 波動方程式の導出 | 【事前学習】熱方程式の導出手法を再確認する 【事後学習】波動方程式の変分原理を用いた導出方法を復習する | 【事前学習】1時間 【事後学習】3時間 |
| 第5回 | 流体の方程式の導出 | 【事前学習】ベクトル解析の諸知識を確認する 【事後学習】Euler方程式の導出手法を復習する | 【事前学習】1時間 【事後学習】3時間 |
| 第6回 | 弱微分 | 【事前学習】部分積分とGaussの定理を確認する 【事後学習】弱微分の定義を復習する | 【事前学習】1時間 【事後学習】3時間 |
| 第7回 | Sobolev関数に対する近似定理 | 【事前学習】弱微分の基本性質を確認する 【事後学習】Sobolev関数の近似定理を復習する | 【事前学習】1時間 【事後学習】3時間 |
| 第8回 | Sobolevの不等式 | 【事前学習】微分積分学の基本定理を確認する 【事後学習】Sobolevの不等式を復習する | 【事前学習】1時間 【事後学習】3時間 |
| 第9回 | Laplace方程式の弱解 | 【事前学習】Laplace方程式の変分原理を用いた導出方法を復習する 【事後学習】Laplace方程式の弱解の定義を復習する | 【事前学習】1時間 【事後学習】3時間 |
| 第10回 | Laplace方程式の可解性 | 【事前学習】Sobolev空間の性質を復習する 【事後学習】関数解析的手法によるLaplace方程式の可解性を復習する | 【事前学習】1時間 【事後学習】3時間 |
| 第11回 | Laplace方程式の正則性 | 【事前学習】Sobolevの不等式を再確認する 【事後学習】Laplace方程式の弱解の正則性理論を復習する | 【事前学習】1時間 【事後学習】3時間 |
| 第12回 | Laplace作用素に対する固有値問題 | 【事前学習】Fourier級数の性質を確認する 【事後学習】Laplace方程式の固有値問題の可解性を復習する | 【事前学習】1時間 【事後学習】3時間 |
| 第13回 | 熱方程式の弱解 | 【事前学習】Laplace方程式の弱解を復習する 【事後学習】熱方程式の弱解の定義を復習する | 【事前学習】1時間 【事後学習】3時間 |
| 第14回 | Galerkin近似による熱方程式の可解性 | 【事前学習】Laplace作用素に対する固有値問題の解法を復習する 【事後学習】Galerkin近似による熱方程式の可解性を復習する | 【事前学習】1時間 【事後学習】3時間 |
| 第15回 | Laplace方程式・熱方程式の可解性の復習 | 【事前学習】Laplace方程式・熱方程式の可解性を再確認する 【事後学習】Laplace方程式・熱方程式の可解性のための解析手法を復習する | 【事前学習】1時間 【事後学習】3時間 |
その他
| 教科書 |
特に指定しない
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| 参考資料コメント 及び 資料（技術論文等） |
Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, second edition [ISBN 978-0821849743], Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2010
長澤 壯之 『ガイダンス 応用解析 ベクトル解析・複素関数・フーリエ解析・微分方程式 [ISBN 978-4781915357]]』 ライブラリ新数学基礎テキスト TK 4 サイエンス社 2022年
"Partial Differential Equations" は偏微分方程式論とは何かを学ぶうえで非常に著名な書籍です．「ガイダンス 応用解析」は偏微分方程式論を学ぶ上で必要となる解析学の諸知識がコンパクトにまとまっています．
他の参考書については講義中に説明します．
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| 成績評価の方法 及び基準 |
レポート 100% |
| 質問への対応 | 随時 |
| 研究室又は 連絡先 |
駿河台校舎 タワースコラ 14階 S1408 http://www.math.cst.nihon-u.ac.jp/~mizuno/lecture.html mizuno atmark math.cst.nihon-u.ac.jp (atmarkは@にかえてください) |
| オフィスアワー |
月曜 駿河台 12:10 ～ 13:00 タワースコラ 14階 S1408(水野研究室)
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| 学生への メッセージ |
微分積分学・線形代数学の諸知識がどう偏微分方程式論に利用されるかを感じ取っていただければと思います． |