2025年 大学院理工学研究科 シラバス - 数学専攻
設置情報
| 科目名 |
応用解析学特論Ｂ
偏微分方程式の数値解析
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| 設置学科 | 数学専攻 | 学年 | 1年 |
| 担当者 | 小紫 誠子 | 履修期 | 前期 |
| 単位 | 2 | 曜日時限 | 月曜3 |
| 校舎 | 駿河台 | 時間割CD | N13A |
| クラス | |||
概要
| 学修到達目標 | 様々な現象の数値シミュレーションの基礎となる，非線形方程式，連立一次方程式，固有値問題，常微分方程式等についての基本的な数値計算法を理解する．さらにこれらを応用して，双曲型，放物型，楕円型の典型的な偏微分方程式の数値計算による求解について触れ，数値計算を通して偏微分方程式の解の振舞いについて理解を深める． |
|---|---|
| 授業形態及び 授業方法 |
対面授業を行う． 講義を行い，適宜ノートパソコンを使用して実際に微分方程式を数値的に解いてみる．また，その解の可視化方法などを工夫することによって，微分方程式の物理的意味を理解する．各自でノートパソコンが必要． |
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準備学習（予習・ 復習等）の内容・ 受講のための 予備知識 |
本授業で扱う微分方程式はそれぞれ何等かの物理現象を数学的に記述したものである．大学数学の基礎である微分積分，線形代数の復習に加えて，教養程度の物理の知識があることが望ましい．また，コンピュータプログラミングの基礎的な知識があることが望ましい． |
授業計画
| 第1回 | ガイダンス 微分方程式の数値解析例の紹介と導入 | 【事後学習】授業ノートを確認し，授業で扱った例題や課題について再度自分で取り組み，よく復習すること． | 事後学習：4時間 |
|---|---|---|---|
| 第2回 | 常微分方程式の差分解法，差分方程式の構成法 | 【事前学習】前回の授業で扱った内容の確認をしておくこと． 【事後学習】授業ノートを確認し，授業で扱った例題や課題について再度自分で取り組み，よく復習すること． | 事前学習：1時間 事後学習：3時間 |
| 第3回 | 常微分方程式の境界値問題 | 【事前学習】前回の授業で扱った内容の確認をしておくこと． 【事後学習】授業ノートを確認し，授業で扱った例題や課題について再度自分で取り組み，よく復習すること． | 事前学習：1時間 事後学習：3時間 |
| 第4回 | 常微分方程式の初期値問題 | 【事前学習】前回の授業で扱った内容の確認をしておくこと． 【事後学習】授業ノートを確認し，授業で扱った例題や課題について再度自分で取り組み，よく復習すること． | 事前学習：1時間 事後学習：3時間 |
| 第5回 | 線形偏微分方程式 楕円型方程式の数値解法 | 【事前学習】前回の授業で扱った内容の確認をしておくこと． 【事後学習】授業ノートを確認し，授業で扱った例題や課題について再度自分で取り組み，よく復習すること． | 事前学習：1時間 事後学習：3時間 |
| 第6回 | 線形偏微分方程式 放物型方程式の数値解法と数値解の収束 | 【事前学習】前回の授業で扱った内容の確認をしておくこと． 【事後学習】授業ノートを確認し，授業で扱った例題や課題について再度自分で取り組み，よく復習すること． | 事前学習：1時間 事後学習：3時間 |
| 第7回 | 線形偏微分方程式 放物型方程式の数値解法 陽解法・陰解法と応用 | 【事前学習】前回の授業で扱った内容の確認をしておくこと． 【事後学習】授業ノートを確認し，授業で扱った例題や課題について再度自分で取り組み，よく復習すること． | 事前学習：1時間 事後学習：3時間 |
| 第8回 | 線形偏微分方程式 双曲型偏微分方程式の数値解の収束条件 | 【事前学習】前回の授業で扱った内容の確認をしておくこと． 【事後学習】授業ノートを確認し，授業で扱った例題や課題について再度自分で取り組み，よく復習すること． | 事前学習：1時間 事後学習：3時間 |
| 第9回 | 線形偏微分方程式 双曲型偏微分方程式 移流方程式の数値解法 上流差分法 | 【事前学習】前回の授業で扱った内容の確認をしておくこと． 【事後学習】授業ノートを確認し，授業で扱った例題や課題について再度自分で取り組み，よく復習すること． | 事前学習：1時間 事後学習：3時間 |
| 第10回 | 非圧縮性ナビエ・ストークス方程式とキャビティ問題 | 【事前学習】前回の授業で扱った内容の確認をしておくこと． 【事後学習】授業ノートを確認し，授業で扱った例題や課題について再度自分で取り組み，よく復習すること． | 事前学習：1時間 事後学習：3時間 |
| 第11回 | 非圧縮性ナビエ・ストークス方程式の差分解法 流れ関数‐渦度法 | 【事前学習】前回の授業で扱った内容の確認をしておくこと． 【事後学習】授業ノートを確認し，授業で扱った例題や課題について再度自分で取り組み，よく復習すること． | 事前学習：1時間 事後学習：3時間 |
| 第12回 | 非圧縮性ナビエ・ストークス方程式の差分解法 圧力を求める方法 | 【事前学習】前回の授業で扱った内容の確認をしておくこと． 【事後学習】授業ノートを確認し，授業で扱った例題や課題について再度自分で取り組み，よく復習すること． | 事前学習：1時間 事後学習：3時間 |
| 第13回 | エネルギー方程式を用いた強制対流と自然対流 | 【事前学習】前回の授業で扱った内容の確認をしておくこと． 【事後学習】授業ノートを確認し，授業で扱った例題や課題について再度自分で取り組み，よく復習すること． | 事前学習：1時間 事後学習：3時間 |
| 第14回 | 微分方程式の数値解析の他の事例 | 【事前学習】前回の授業で扱った内容の確認をしておくこと． 【事後学習】授業ノートを確認し，授業で扱った例題や課題について再度自分で取り組み，よく復習すること． | 事前学習：1時間 事後学習：3時間 |
| 第15回 | まとめと応用例 | 【事前学習】前回の授業で扱った内容の確認をしておくこと． 【事後学習】授業ノートを確認し，授業で扱った例題や課題について再度自分で取り組み，よく復習すること． | 事前学習：1時間 事後学習：3時間 |
その他
| 教科書 |
とくに定めない．
随時プリント等で補う．
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| 参考資料コメント 及び 資料（技術論文等） |
高見穎郎，河村哲也 『偏微分方程式の差分解法 [ISBN-13 : 978-4130629010]』 東京大学出版会
差分法を基礎から丁寧に解説した本．微分方程式の性質に応じた数値解析の方法について述べている．
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| 成績評価の方法 及び基準 |
適宜課すレポートによる．授業内でレポート課題を２～４回程度課す． |
| 質問への対応 | 授業中いつでも． あるいはオフィスアワーにて． |
| 研究室又は 連絡先 |
初回授業時に連絡する． |
| オフィスアワー |
月曜 駿河台 12:30 ～ 13:10 質問方法等は授業にて案内します
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| 学生への メッセージ |
ぜひ，普段の大学院での勉強においても，数値計算を利用してみてください．そのための知識をこの授業で学んでください． |