2021年 大学院理工学研究科 シラバス - 精密機械工学専攻
設置情報
科目名 | 応用数学Ⅱ | ||
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設置学科 | 精密機械工学専攻 | 学年 | 1年 |
担当者 | 山本 修一 | 履修期 | 後期 |
単位 | 2 | 曜日時限 | 金曜3 |
校舎 | 船橋 | 時間割CD | G53B |
クラス |
概要
学修到達目標 | 単振動,拡散,波動など,動きが伴う現象の把握に微分方程式が本質的な役割を果たす。この授業では,重要でかつ解の挙動が視覚的にわかりやすい定数係数の1階または2階線形微分方程式と偏微分方程式のうち1次元熱方程式,1次元波動方程式に限定し,数式処理ソフト マスマティカ のアニメーション機能で描かれる動画を活用しながら,解の挙動と合わせて微分方程式を理解していく。微分方程式を,解の挙動と一緒に理解するので,微分方程式の重要性だけでなく即効的な応用力も身につく。 |
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授業形態及び 授業方法 |
授業方法は、 (i)対面授業の場合は配布プリントを使用しマスマティカを補助的に活用しながら講義を行う。授業で使用するプリントは予習用として数日前にCSTポータルから事前に配布する。 (ii)オンライン授業になった場合は (1) 授業内容は通常授業と同じ, (2)予習用のプリントは数日前にCSTポータルから事前に配布する。(3)授業法は,授業開始時に授業のサポート用プリント(学び方)と動画閲覧ソフトで必要な動画を閲覧できるためのCDFファイル(プログラム等が記載される)を配布する。各自授業プリントの内容をこれらを活用しながら深める。 授業のフィードバック(内容理解の把握)は,いずれの場合もクラウドやメールを通して行う。内容によっては,演習問題を解くことで理解が深まることがあるので問題解法も含まれる。ただし,解法にはソフトウエアを用いてもよい。クラウドにあるマスマティカを用いる場合に限り必要に応じて解法のための方法を提示する。 |
準備学習(予習・ 復習等)の内容・ 受講のための 予備知識 |
準備学習:授業計画の第2回以降の授業では使用するプリントを事前に配布するので,そのプリントの内容を予習することを授業の予習(120分)とする。授業内容によっては学部の1年で使用した微分積分学,線形代数学の教科書にある内容や先の授業の内容が予習に含まれることもあるので授業計画の中ではそれを予習事項として特記する。 授業の復習(時間の記載がないときは120分)は毎回の授業計画の中に記載される。復習では主に授業内容をより深めるための問題が提示される。予習と復習の時間は合計240分で、復習の記載がない場合は予習だけで240分とする。 予備知識:微分積分学Ⅰ,Ⅱ,線形代数学Ⅰ および 応用数学Ⅰ を履修していることが望ましい。 |
授業計画
第1回 | 単位取得に係わる説明(準備学習,レポート課題について)およびこの授業の特徴とポイントを具体例で視覚的に示しながら学び方を提示する。 復習:これから学ぶ内容のキーワード(例えば,定数係数の2階線形微分方程式,バネの振動、電気回路と微分方程式,1次元熱(拡散)方程式,1次元波動方程式など)について,他の授業との関連性を調べたり,あるいはネット検索でおおよそを概観する(240分) |
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第2回 | 微分方程式の解法Ⅰ(定数係数の2階線形微分方程式の一般解や特殊解の求め方を学ぶ) 復習:2階の定数係数の線形微分方程式の一般解の計算(配布プリント) |
第3回 | 微分方程式の解法Ⅱ(係数に文字が含まれる簡単な2階線形微分方程式の特殊解を考察する.特に文字の値の変化に伴う特殊解の表現について双曲線関数を用いればより便利になることを学ぶ) 予習事項:微分積分学の教科書にある双曲線関数(73ページ) 復習:2階の定数係数の線形微分方程式の特殊解の計算(配布プリント) |
第4回 | 定数係数の2階線形微分方程式の応用(第3回で学んだ特殊解を具体的にバネの振動や電気回路に適用し,解として表現されるバネの先端にある重りの位置や電流を動画で観察しながら微分方程式の重要性を理解する) 予習事項:第3回の授業プリント |
第5回 | 差分近似解法(簡単な微分方程式の差分近似による解法を通して,微分や微分方程式は先を予測する重要な概念であることを学ぶ) 予習事項:ネピアーの数(微分積分学の教科書65ページ)、行列,行列の積(線形代数学の教科書53ページ~59ページ) 復習:微分方程式の差分近似解法に関する問題の解法(配布プリント) |
第6回 | 一般の定数係数の線形微分方程式(線形微分方程式とは何かを学び,一般解を計算する上で重要な解の性質および同次形の場合に基本行列解を用いる解法があることを学ぶ) 予習事項:行列,行列の積(線形代数の教科書の53ページ~59ページ),指数関数と三角関数のマクローリン展開(微分積分学の教科書の95ページ~96ページ) 復習:簡単な線形微分方程式の行列基本解の計算(配布プリント) |
第7回 | 定数係数の2階線形偏微分方程式(2変数の関数の微分方程式について,定数係数,2階,線形・非線形の違いを明らかにしながら,定数係数の2階線形偏微分方程式を理解しその標準形について学ぶ) 予習事項:合成関数の偏微分法(微分積分学の教科書の223ページ~237ページ) 復習:定数係数の2階線形偏微分方程式の標準形の計算(配布プリント) |
第8回 | 1次元熱方程式(1次元熱方程式を定義し境界条件を付けて解が定まることを学び,その解が表す式の挙動を動画で観察することで偏微分方程式の役割を理解する) 予習事項:偏導関数(微分積分学の教科書の224ページ~228ページ)について復習し,授業プリントの問を計算する。 復習:1次元熱方程式の解の計算(配布プリント) |
第9回 | 1次元熱方程式の近似解法(差分法を用いた近似解法を学ぶ。特に、偏微分方程式を解く意味と境界条件の必要性を理解し、動画を通して解の挙動を観察する) 復習:1次元熱方程式の近似解の計算(配布プリント) |
第10回 | 長方形に関する第1境界値問題(1次元熱方程式の境界条件が,不連続関数で表現される場合フーリエ級数展開を用いる解法を学び,第9回の近似解法と比較してその解法の違いを理解する) 予習事項:フーリエ係数,フーリエ級数展開(例えば,応用数学Ⅰの第7回および8回の授業プリントを参照) 復習:フーリエ係数を用いた熱方程式の解の計算(配布プリント) |
第11回 | 波動現象から見た三角関数の役割(1次元波動方程式を定義し初期条件と初期速度でその解が定まることを学び,三角関数を用いた波動現象を波動方程式の解として学ぶ) 予習事項:三角関数の基本的事項(三角関数のグラフ,加法定理,和を積に直す公式,積を和に直す公式等) |
第12回 | 波動方程式の解法と解の挙動(初期条および初期速度が微分可能な関数で与えられる場合のダランベール解や有限区間におけるフーリエ級数を用いた解法を学ぶ。さらに解の挙動を動画を活用し観察することで波動方程式の解の特徴を理解する) 復習:波動方程式のダランベール解の計算(配布プリント) |
第13回 | 波動方程式の広義解(初期条件または初期速度が不連続な関数で与えられる場合の広義解の概念を学び,フーリエ級数を活用して得られる形式解と広義な意味のダランベール解との適合性を動画を用いて観察し解の挙動を深める) 復習:形式解に対する係数の計算(配布プリント) |
第14回 | 波動方程式の境界値問題(有限区間における波動現象を考察する.フーリエ級数を活用して得られる形式解を広義な意味のダランベール解の挙動として動画で観察しながら理解を深める) レポート課題の内容を発表する。 復習:レポート課題に取り組む(240分) |
第15回 | レポート課題を回収する。その後,レポート課題に対する解答を与える。そのとき課題の内容を動画で観察しながら,授業の重要なテーマを復習する。 予習事項:レポート課題に取り組む(240分) |
その他
教科書 |
特に使用しない
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参考資料コメント 及び 資料(技術論文等) |
ドナルド・A・マックォーリ 『偏微分方程式』 数学大全 講談社サイエンティフィク 2010年 第初版
E. クライツィヒ 『フーリエ解析と偏微分方程式』 技術者のための高等数学3 培風館 2007年 第8版
上の参考資料については,さらに深く理解するために利用してほしい。
なお,この授業の予習で学部1年で使用した教科書
微分積分(矢野・石原編,裳華房),新線形代数(大日本図書)
を利用する。
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成績評価の方法 及び基準 |
レポート課題(提出することが単位取得のための必要条件)で 60パーセント、授業における平常点(予習・復習など授業に対する取り組み状況,またはフィードバックの回答状況)を 40パーセントの割合で評価し,GPA制度の基準に従って合否および優劣を総合的に評価する。 |
質問への対応 | 授業中に理解できないところがあった場合,質問内容を整理し紙に書いてオフィスアワー時に手渡しするか,連絡先にあるメールアドレスへ送付すること(推奨)。メールで回答するのでそのときは希望する送付先のメールアドレスをわかりやすく記入すること。 |
研究室又は 連絡先 |
メールアドレス:yamamoto.shuichi20@nihon-u.ac.jp |
オフィスアワー |
金曜 船橋 14:50 ~ 15:00 14号館1階講師室
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学生への メッセージ |
受講に対する注意 (1)授業に関するあらゆる連絡は cstポータルから配信するので,受講を希望する場合は受講の手続きを早めにし,対応できるようにすること。 (2)使用するクラウドの ID 登録やメールアドレス通知等の作業は,第1回目の授業で配布されるプリントの内容に従って準備すること。 (3)授業内容を深く理解する(問題解法を含む)ために自分でソフトウエアを操作することが望ましいので,クラウドを通したマスマティカおよび無償のCDFプレーヤーの活用を推奨する。従って受講に当たっては安定したインターネット接続とパソコン使用が望ましい。オンライン授業になった場合,このことは必須事項になるので注意すること。 |